DERIVATION الاشتقاق من إنجاز : الأستاذ عادل بناجي 2 تقديم حاول العلماء منذ العصور القديمة تحديد مماسات لبعض المنحنيات. Archimède) 22 ;278 مقترحا في هذا الصدد. وقد قدم أرخميدس وأسفرت أعمال جملة من الر ياضيين و الفيز يائيين فيمابعد خاصة نيوتن Newton) 642 727 م) وليبنيتز Leibniz) ) م 646 76 ) في تحديد عام لمماسات منحنيات دوال وتحديد سرعة جسم متحرك. كما نتج عن تقدم الحساب التفاضلي تطور لمفهوم الإشتقاق. ويرجع الفضل للعالم الر ياضي والفلكي الفرنسي افطالي الأصل لاغرانج Louis, Joseph 83) Lagrange de compte 736 م في إدخال كلمة " المشتقة " وفي وضع الترميز ) f الذي عرف كنهاية لمعدل التغير. نبذة عن عالم غوتفريد فيلهيلم من لايبنتز أيضا لايبنتز) الحديث لمبدأ انحفاظ الطاقة. 646 76 فيلسوف ألماني عالم طبيعة عالم ر ياضيات دبلوماسي مكتبي ومحامي. يرتبط اسم لايبنتز بالتعبير " دالة ر ياضية " 694) التي كان يصف بها كل كمية م ت ع ل قة ب منحنى مثل ميل المنحنى أ ونقطة معينة على المنحنى. يعتبر لايبنتز مع نيوتن أحد مؤسسي علم التفاضل و التكامل و بخاصة تطوير مفهوم التكامل و قاعدة الجداء كما طور المفهوم ذ. عادل بناجي الصفحة : adilbennaji204@gmail.com
بطاقة تقنية رقم : 02 ثانو ية : الفتح التأهيلية السنة الدراسية : 206 205 الأستاذ : عادل بناجي المستوى : الثانية باكلور يا علوم تجريبية درس : الاشتقاق التذبير الزمني : 5 ساعات فقرات الدرس تذكير وإضافات العمليات على الدوال المشتقة الاشتقاق والاتصال مشتقة مركب دالتين مشتقة الدالة العكسية النهايات و الاتصال مفاهيم أساسية حول مفهوم الاشتقاق تطبيقات الاشتقاق رتابة دالة عددية - مطارف دالة عددية - المعادلة التفاضلية + ω 2 = 0 المكتسبات القبلية دراسة الدوال العددية حساب مشتقات الدوال الاعتيادية تحديد رتابة دالة انطلاقا من إشارة مشتقتها الكفاءات المستهدفة تحديد إشارة دالة انطلاقا من جدول تغيراتها أو من تمثيلها المبياني تحديد العدد المشتق في نقطة للدالة العكسية لدالة تحديد رتابة الدالة العكسية لدالة متصلة و رتيبة قطعا على مجال التوجيهات التربو ية الوسائل الديداكتيكية يتم التذكير بمفهوم الاشتقاق و تطبيقاته من خلال أنشطة متنوعة تبرز الهمية التي يكتسيها في الدراسة الموضعية و الشاملة للدوال المقررة و خاصة في التقريب المحلي لدالة وفي دراسة منحى تغيرات دالة على مجال و تحديد المطاريف ودراسة إشارة دالة أو متفاوتة جبرية على مجال... تتم صيانة مكتسبات التلاميذ حول الاشتقاق و النهايات من خلال دراسة أمثلة لدوال حدودية و دوال جذرية و دوال لاجذرية و دوال مثلثية سلسلة أنشطة - سلسلة تمارين - الكتاب المدرسي - ملخص المكتسبات السابقة ذ. عادل بناجي الصفحة : 2 adilbennaji204@gmail.com
أنشطة الدرس f h ) f ) 0 h h ثم استنتج أن f قابلة للاشتقاق في 2 و لتكن f الدالة العددية المعرفة بمايلي : 4 2 f ) = 2 و f ) f 2) 2 أحسب النهايتين 3 اعط معادلة مماس منحنى الدالة f في النقطة 2 نشاط 2 حدد 2) f و ) f f ) = 2 + ; f ) = 3 2 ; < نشاط 2 لتكن f الدالة العددية المعرفة بمايلي : أدرس قابلية اشتقاق f على اليسار وعلى اليمسن في ثم اول النتيجتين المحصل عليهما مبيانيا هل الدالة f قابلة للاشتقاق في 2 حدد تعبير معادلتي المماسين ) d T و ) g T حيث ) f T d ) : = f d ) ) + و ) f T d ) : = f g ) ) + 3 أنشئ ) f C و ) d T و ) g T و النقطة )) f M, في نفس المعلم المتعامد الممنظم ) j O; i, 4 نشاط 3 في كل حالة من الحالات التالية ادرس قابلية الدالة f على المجال I ثم حدد دالتها المشتقة f I = ]2,+ [ f ) = 3 8 I = R f ) = + 2 + 3 3 4 I = ]0,+ [ f ) = + I = R f ) = + 2) ) 2 نشاط 4 C f ) 0 0 C f ) يمثل الشكلان ) f C) و f C) جانبه على التوالي منحنيي دالة f و دالتها المشتقة f أتمم ملء الجدول التالي : المجال إشارة الدالة المشتقة f تغيرات الدالة f I = ] 2,0[ J = ]0,[ K = ],3 2 ذكر بالخاصية التي تربط اشارة الدالة f بتغيرات الدالة f ذ. عادل بناجي الصفحة : 3 adilbennaji204@gmail.com
نشاط 5 نعتبر الدالة f المعرفة على R بتمثيلها المبياني أسفله. C f ) 0 ماذا تمثل النقطتان )) f A, و )) f B, بالنسبة للدالة f 2 حدد ) f و ) f و ) f و ) f 3 حدد معادلتي مماسي منحنى الدالة f وانشأهما في نفش الشكل. ماذا تلاحظ نشاط 6 h) = و g ) = + و f ) = نعتبر الدوال f و g وh المعرفة على R+ بمايلي : + تحقق أن : h f = g 2 أحسب مشتقات الدوال f و g وh 3 قارن ) f و ) g [h)].h بالنسبة ل ]0,+ [ نشاط 7 نعتبر الدالة f المعرفة على [0,+ [ ب : 2 f ) = بين أن f تقابل من ] +,0] نحو مجال J يجب تحديده تحقق أن : + J) : f ) = 2 f ) بين أن f قابلة للاشتقاق على ] +, [ وأحسب ) 3 : f ) ) = تحقق أن : ],+ [) f ) f ) 4 adilbennaji204@gmail.com ذ. عادل الصفحة : 4 بناجي
h 0 f a + h) f a). h 0 h f a + h) f a) h 2 تذكير و إضافات. 2 اشتقاق دالة في نقطة لتكن f دالة عددية معرفة على مجال مفتوح I و a I f ) f a) = l أو = l a نقول إن f قابلة للإشتقاق في a إذا وجد عدد حقيقي l بحيث : a f ) f a) أو = = f a) a العدد l يسمى العدد المشتق للدالة f في a ونرمز له ب a) f ونكتب : a f a) إذا كانت الدالة f قابلة للإشتقاق في a فإن الدالة : a) f a) a) + f الدالة التآلفية المماسة للدالة f في النقطة a أو التقريب التآلفي للدالة f بجوار a) معادلة المماس للدالة f في النقطة a هي a): = f a) a) + f تعار يف تطبيقي تمرين أدرس قابلية اشتقاق الدالة f في 0 في كل حالة من الحالات التالية : 0 = f ) = 3 2 + 0 = f ) = 3 + 2 2 0 = f ) = + + 3 تطبيقي تمرين باستعمال مفهوم العدد المشتق أحسب النهايتين التاليتين : cos) 2 π π 3 3 + 2 ) 205 3 + 0 2 3 a a a > 0) a 4 3 a 3 ذ. عادل بناجي الصفحة : 5 adilbennaji204@gmail.com
تطبيقي تمرين لتكن f الدالة العددية المعرفة ب : f ) = 3 + بين أن f قابلة للاشتقاق في النقطة 0 حدد التقريب التالفي للدالة f بجوار 0 2 3 اعط قيمة مقربة للعددين 3 0.997 و.0035 3 2. 2 الاشتقاق على اليمين - الاشتقاق على اليسار لتكن f دالة عددية معرفة على مجال من نوع ]α α) > 0,a] a +. نقول إن f قابلة للإشتقاق على اليمين في a إذا وجد f ) f a) أو = f >a a d a) : ونكتب f d a... f ) f a). = l >a عدد حقيقي l بحيث : a a العدد l يسمى العدد المشتق للدالة f على اليمين في a ونرمز له ب a) f ) f a) = f a + a d a) لتكن f دالة عددية معرفة على مجال من نوع [a α) > 0 a[,α. نقول إن f قابلة للإشتقاق على اليسار في a إذا وجد f ) f a) أو = f <a g a a) : ونكتب f g a f ) f a). = l <a عدد حقيقي l بحيث : a a العدد l يسمى العدد المشتق للدالة f على اليسار في a ونرمز له ب a) f ) f a) = f a g a a) تعريف خاصية لتكن f دالة عددية معرفة على مجال مفتوح I و a. I نقول إن f قابلة للاشتقاق في a إذا وفقط غذا كانت قابلة للإشتقاق على اليمين و على اليسار في a و a) f g a) = f d تطبيقي تمرين أدرس قابلية اشتقاق الدالة f على اليمين أو السار) في 0 في كل حالة من الحالات التالية : 0 على اليمين في = 0 f ) = 0 على اليمين في = 2 f ) = + 2 2 0 على اليسار في = f ) = 2 3 ذ. عادل بناجي الصفحة : 6 adilbennaji204@gmail.com
3. 2 قابلية الاشتقاق و التأو يل الهندسي النهاية استنثاج التأويل الهندسي للمنحنى : ) f C) يقبل... a معامله الموجه هو A 0, f 0 )) f قابلة مماسا في النقطة للاشتقاق في A 0, f 0 )) 2 مماسا أفقيا في النقطة a معامله الموجه هو A 0, f 0 )) f قابلة 3 نصف مماس على اليمين في النقطة 0 f ) f 0 ) = a 0 0 0 f ) f 0 ) = 0 0 0 f ) f 0 ) = a 0 0 f ) f 0 ) = 0 0 + 0 للاشتقاق على A 0, f 0 )) 4 نصف مماس أفقي على اليمين في النقطة يمين 0 0 + )) 0 A 0, f موجه نحو الأسفل f غير قابلة 5 نصف مماس عمودي على اليمين في النقطة 0 للاشتقاق على + A موجه نحو الأعلى a معامله الموجه هو A A موجه نحو الأعلى 0, f 0 )) 6 نصف مماس عمودي على اليمين في النقطة يمين 0 A + 0 0, f 0 )) f قابلة 7 نصف مماس على اليسار في النقطة 0 للاشتقاق على 0, f 0 )) 8 نصف مماس أفقي على اليسار في النقطة يسار 0 0, f 0 )) f غير قابلة 9 نصف مماس عمودي على اليسار في النقطة للاشتقاق على )) 0 A 0, f موجه نحو الأسفل 0 نصف مماس عمودي على اليسار في النقطة يسار 0 0 f ) f 0 ) = 0 f ) f 0 ) = + 0 f ) f 0 ) 0 = a 0 f ) f 0 ) = 0 0 0 f ) f 0 ) = 0 f ) f 0 ) = + 0 0 0 0 0 0 0 الشكل 9 الشكل 7 الشكل 5 الشكل 3 الشكل 0 0 0 0 0 الشكل 0 الشكل 8 الشكل 6 الشكل 4 الشكل 2 ذ. عادل بناجي الصفحة : 7 adilbennaji204@gmail.com
4. 2 الاشتقاق على مجال - الدالة المشتقة... تعار يف نقول إن f قابلة للاشتقاق على مجال مفتوح I إذا كانت قابلة للاشتقاق في كل نقطة من I نقول إن f قابلة للاشتقاق على المجال المغلق [a,b] إذا كانت قابلة للاشتقاق في كل نقطة من المجال المفتوح ]a,b[ وقابلة للاشتقاق على اليمين في a وقابلة للاشتقاق على اليسار في. b الدالة المعرفة ب ) f تسمى الدالة المشتقة للدالة f ويرمز لها بالرمز f إذا كانت f قابلة للاشتقاق على I فإن دالتها المشتقة تسمى الدالة المشتقة الثانية للدالة f ونرمز لها بالرمز " f. 5. 2 الدالة المشتقة لبعض الدوال الاعتيادية - العمليات على الدوال المشتقة الجدول التالي يلخص مشتقات بعض الدوال الإعتيادية : f تعريف Dمجموعة f الدالة D f f مجموعة تعريف f الدالة المشتقة f D f = R f ) = 0 D f = R f ) = a D f = R f ) = D f = R f ) = D f = R f ) = n n D f = R f ) = n ;n N {}) D f = R f ) = n n D f = R f ) = n ;n Z {}) D f = ]0,+ [ f ) = 2 D f = [0,+ [ f ) = D f = R f ) = 2 D f = R f ) = D f = R f ) = cos) D f = R f ) = sin) D f = R f ) = sin) D f = R f ) = cos) π 2 + kπ;k Z) f ) = + t an 2 ) = cos 2 ) D g /g ) > 0 f ) = g ) 2 g ) π + kπ;k Z) 2 D g /g ) 0 f ) = t an) f ) = g ) D f = R f ) = acosa + b) D f = R f ) = sina + b) D f = R f ) = asina + b) D f = R f ) = cosa + b) D f = a + b π ) + kπ;k Z) 2 f ) = a + t an 2 a + b) a + b π + kπ;k Z) f ) = t ana + b) 2 { D f = R d } a b ;c 0 f c d { ) = c c + d) 2 D f = R d } ;c 0 f ) = a + b c c + d ذ. عادل بناجي الصفحة : 8 adilbennaji204@gmail.com
... خاصية العمليات على الدوال المشتقة إذا كانت f و g دالتين قابلتين للا شتقاق عل مجال I و λ R فإن : الدوال f + g و f g و λf دوال قابلة للاشتقاق على λf ) = λf و f g ) = f g + f g و f + g ) = f + g : ولدينا I I قابلتان للاشتقاق على f g و g إذا كانت f و g دالتين قابلتين للا شتقاق عل مجال I و g لاتنعدم على I فإن : الدالتين f g ) f g f g و = ) g = g 2 g g 2 ولدينا : خواص... R { π 2 كل دالة حدودية قابلة للاشتقاق على R كل دالة جذرية قابلة للاشتقاق على كل مجال ضمن مجموعة تعريفها 2 الدالتين cos) و sin) قابلتان للاشتقاق على R 3 الدالة an) t قابلة للاشتقاق على كل مجال ضمن مجموعة تعريفها {Z + kπ/k 4 الدالة قابلة للاشتقاق على ]0,+ [ 5 تطبيقي تمرين أدرس قابلية اشتقاق الدالة f ثم حدد دالتها المشتقة في الحالات التالية : f ) = + 2 + 2 3 f ) = 2 + cos) 4 f ) = 7 + 2 + 3) 5 f ) = 3 2 + 3 2 6. 2 رتابة دالة واشارة مشتقتها خاصية لتكن f دالة قابلة للاشتقاق على مجال I إذا كانت f موجبة ) قطعا على I فإن الدالة f تزايدية قطعا على I إذا كانت f سالبة قطعا على I فإن الدالة f سالبة ) قطعا على I إذا كانت f منعدمة على I فإن الدالة f ثابتة على I ذ. عادل بناجي الصفحة : 9 adilbennaji204@gmail.com
7. 2 مطارف دالة قابلة للاشتقاق خاصية لتكن f دالة قابلة للاشتقاق على مجال مفتوح I و 0 عنصرا من I إذا كانت f قابلة للاشتقاق في 0 وتقبل مطراف في النقطة 0 فإن = 0 ) 0 f إذا كانت f تنعدم في 0 و تغير اشارتها فإن ) 0 f ) مطراف للدالة f تطبيقي تمرين أدرس رتابة الدالة f ومطارفها إذا وجدت في الحالات التالية : f ) = 4 f ) = + 3 2 5 f ) = 3 3 3 + 2 6 f ) = 2 + 2 f ) = 2 3 + 2 2 + 2 + 2 f ) = 2 3) 3 8. 2 الاتصال و الاشتقاق خاصية لتكن f دالة عددية معرفة على مجال مفتوح I و a I إذا كانت f قابلة للاشتقاق في a فإن f متصلة في. a ملاحظة عكس هذه الخاصية غير صحصيح مثال مضاد : لتكن f الدالة العددية المعرفة على R ب : f ) = لدينا f متصلة في 0 لكن f غير قابلة للاشتقاق في 0 لأن 0) g f d 0) f نتيجة إذا كانت f قابلة للاشتقاق على مجال I فإن f متصلة على I ذ. عادل بناجي الصفحة : 0 adilbennaji204@gmail.com
3 مشتقة مركب دالتين لتكن f دالة معرفة على مجال I و g دالة معرفة على مجال J بحيث f I) ) J إذا كان a عنصرا من المجال I بحيث f قابلة للاشتقاق في a و g قابلة للاشتقاق في a) f فإن الدالة g f قابلة للاشتقاق في a و لدينا : ) g f ) ) = g f )) f إذا كانت f قابلة للاشتقاق على مجال I و g قابلة للاشتقاق على ) I) f فإن الدالة g f قابلة للاشتقاق على I و لدينا : : g f ) ) = g f )) f ) I ) خاصية نتيجة لتكن f دالة قابلة للاشتقاق على مجال I I على f 0) f )) = f ) 2 f ) n N ) f n )) = n f )f n ) مثال لنحسب f و g مشتقتي الدالتين : + 4 f ) = sin 2 و ) g ) = t an g ) = t an )) = ) t an ) = 2 + t an2 )) g ) = 2 + t an2 )) لدينا : f ) = sin 2 4 + )) = 2 4 + ) sin 2 4 + ) = 2 4) cos 2 4 + ) f ) = 2 4) cos 2 4 + ) 4 مشتقة الدالة العكسية ذ. عادل بناجي الصفحة : adilbennaji204@gmail.com
لتكن f دالة متصلة ورتيبة قطعا على مجال. I إذا كان a عنصرا من المجال I بحيث f قابلة للاشتقاق في a و 0 a) f فإن الدالة العكسية f قابلة للاشتقاق في a) f f ) f a)) = ولدينا : a) f إذا كانت f قابلة للاشتقاق على مجال I بحيث دالتها المشتقة لا تنعدم في ) I) f فإن الدالة العكسية f قابلة للاشتقاق f I )) f ) ) = f f )) على المجال ) I f ولدينا : خاصية تطبيقي تمرين نعتبر الدالة العددية f المعرفة على [,+ [ ب : 3 + 2 f ) = 2 بين أن f تقبل دالة عكسية عاى مجال J يجب تحديده نحو ] +,] 2 حدد ) f لكل من J 3 أحسب 2) f و استنتج 3) ) f لتكن f دالة موجبة قطعا و قابلة للاشتقاق عل مجال I و N n و Q r حسب الخاصية السابقة نستنثج مايلي : g ) = الدالة مجال قابلية الاشتقاق الدالة المشتقة ) n = n n ]0,+ [ قابلة للاشتقاق على f f ) = n f ) = r ) = r r ]0,+ [ قابلة للاشتقاق على f f ) = r f ) = f ) ) g ) = n f ) r ) f )) = r f ) n I قابلة للاشتقاق على g g ) = n f ) r ) r f )) I قابلة للاشتقاق على g g ) = f ) نتائج ذ. عادل بناجي الصفحة : 2 adilbennaji204@gmail.com
جدول بعض الأخطاء الشائعة الخطأ أو الصعوبة مصدر الخطأ سببه بعض سبل المعالجة ذ. عادل بناجي الصفحة : 3 adilbennaji204@gmail.com
سلسلة تمارين درس : النهايات و الإتصال التمرين 0 نعتبر f الدالة العددية المعرفة على ] +,0] بمايلي : f ) = 2 أحسب ) f + 2 أدرس قابلية اشتقاق الدالة f على اليمين في 0 لكل > 0 f ) = + ) 3 بين أن : 4 اعط جدول تغيرات الدالة f 5 حدد معادلة المستقيم المماس للمنحنى ) f C) في النقطة f ) = 2 3 + ذات الأفصول = 4 0 التمرين 02 نعتبر الدالة العددية f المعرفة بمايلي : أحسب ) f 2 اعط جدول تغيرات الدالة f 3 أدرس قابلية اشتقاق f على اليسار في 2 ثم اعط تأويلا هندسيا للنتيجة المحصل عليها 4 أحسب ) f التمرين 05 نعتبر الدالة العددية f المعرفة بمايلي : f ) = ; f ) = 3 2 + 3 2 ) 2 ; < بين أن f متصلة في النقطة f في ثم اعط تأويلا هندسيا أدرس قابلية اشتقاق 2 للنتيجة المحصل عليها 3 أحسب ) f التمرين 06 نعتبر الدالة العددية f المعرفة بمايلي : 2 f ) = + 2 + حدد D f ثم نهايتي f عند + و التمرين 03 نعتبر الدالة العددية f المعرفة بمايلي : 4 3 f ) = + 2 + حدد D f مجموعة تعريف الدالة f 2 أدرس قابلية اشتقاق f على اليمين في ثم اعط تأويلا هندسيا للنتيجة المحصل عليها 3 أحسب ) f التمرين 04 نعتبر الدالة العددية f المعرفة بمايلي : 2 أدرس قابلية اشتقاق f على اليمين في 0 و على اليسار في 2 ثم اعط تأويلا هندسيا للنتيجتين المحصل عليهما 3 ا. أحسب ) f ب. اعط جدول تغيرات الدالة f التمرين 07 نعتبر الدالة العددية f المعرفة على ]0,2] = I بمايلي : + f ) = 2 4 أحسب ) f لكل من I 2 بين أن f تقبل دالة عكسية f معرفة على مجال J يجب تحديده ) 2 f ) = 2 4) + 2 + 2 حدد D f مجموعة تعريف الدالة f 2 أدرس قابلية اشتقاق f على اليمين في ثم اعط تأويلا 3 أحسب ) f وتحقق أن الدالة f قابلة للاشتقاق في f ) ) 4 ثم حدد 9 4 9 هندسيا للنتيجة المحصل عليها ذ. عادل بناجي الصفحة : 4 adilbennaji204@gmail.com